計量培訓：測（cè）量不確定度表述講（jiǎng）座
國家質量技術監督局  李慎安

　　5.1  A類評（píng）定的基本方法是（shì）什麽？
　　用統計方（fāng）法(參閱4.1)評定標準不（bú）確（què）定度稱為不確定度的（de）A類評定，所得出（chū）的不確定度稱為A類標準不確（què）定度，簡稱A類不（bú）確定度。當它（tā）作為一個分量時，無例外地隻用標準偏差表征。
　　標（biāo）準不（bú）確定度A類評定的基本方法是采用貝塞（sāi）爾公式計算標準差s的方法。
　　一個被測量Q(既可以是輸入量中的（de）一個，也可以是輸出量或被（bèi）測量)在（zài）重複性條件下或複現性條件下重複測量（liàng）了n次，得到n個觀測結果q₁，q₂，…，q_n，那麽，Q的（de）最佳估計即是這n個觀測值的算術平均值:
　　 由於n隻是有限的次數，故又稱為樣本平均值，它隻是無限多次(總體)平均值的一個估計。n越大，這個估計越可靠。
　　每次的測量（liàng）結果q_i減稱為殘差v_i，v_i=(q_i-)，因此有（yǒu）n個殘差。
　　殘（cán）差的平方和除以n-1就是實驗方差s²(q_i)，即一次測量結（jié）果的實驗方差，其正平方根即為實驗（yàn）標準差s(q_i)，當用它來表（biǎo）述一次測量結果的不確定度u(q_i)時，有s(q)=u(q_i)，或簡寫成s=u。
　　請注意，今後不再把s作為A類不確定度的符號，把u作為B類不確定度的符號，而是不分哪一類，標準不確定（dìng）度均（jun1）用u表示。
　　上述的計算程（chéng）序就是3.1給出的程序。
　　平均值的標（biāo）準偏差s()或其標準不確（què）定度u()為:
　　 必須注意（yì）上式中的n指所用的次（cì）數。在（zài）實際工作中，為了得到一個較為可靠的實驗標（biāo）準偏差s(q_i)，往往作較多次的重複測量(n較大，自由度ν也較大)；但在給出（chū）被測量Q_i測量結果q時，隻用了較少的重複觀測次數(例（lì）如往往（wǎng）隻有4次)。那麽，4次的平均值的標準偏差就是s(q_i)/4=0.5×s(q_i)
　　但是，如果用於評定（dìng）s(q_i)時的n個觀測值，直接用於評定s()(n個的平均)，則成為（wéi）下式:
    

　　5.2  除基本方法外還有哪些簡化的方法？用於何（hé）種場合？
　　在JJF1059中提出了另（lìng）外的一種簡化方法，稱（chēng）之（zhī）為極差法，極差R定義為一個測量列中，最大的測量結果減最小（xiǎo）測量結果所得之差。所謂測（cè）量列，是指（zhǐ）重複性條件下或複現性條件下的若幹測量（liàng）結果這一整體。
　　使（shǐ）用極差法評定s(q_i)的前提是q_i的分（fèn）布（bù）應（yīng）是正態的。對於大多數測量儀器來說，單次測量的示值（zhí），其分布往（wǎng）往偏離正態（tài）甚遠，例如軸尖支承式儀器的示值（zhí）介於正態與均勻分布（bù）之間，數字電壓表的示值分（fèn）布一般呈（chéng）雙峰狀態等。但是（shì）所有q_i如果已是3或4個示值之（zhī）平（píng）均值，則可以認為其分布是正態的了。
　　在得（dé）到了極差R之後，根據這個測量列中（zhōng）包（bāo）含的q_i的多少（shǎo）(即測量次數n)，除以一個相應的係數C就可得出單個（gè）q_i的實驗標（biāo）準（zhǔn）偏（piān）差（chà）s(q_i)了，即s(q_i)=R/C=u(q_i)。
　　當n=4時，C=2.06≈2；
　　當n=9時（shí），C=2.97≈3；
　　當n=15時，C=3.47≈3.5。
　　必須注意，上述（shù）三種情況下（xià）的自由度（dù）ν分別（bié）隻為（wéi）2.7，6.8與10.5，比用貝塞（sāi）爾公式所計算出來的結果自由（yóu）度小，因（yīn）此，可靠性也較差，一般在n較小時使用較好。

　　5.3  什麽（me）叫合並樣本標（biāo）準差s_p？一般有哪幾種求s_p的方法？
　　合並樣（yàng）本標準差s_p這一符（fú）號的下標正體小寫p，來源於英文pooled一詞，表示並（bìng）非來自一個被測量（liàng）的實（shí）驗結果，但s_p所給（gěi）出的則仍為這一（yī）條件下單次測量結果的標準偏（piān）差。s_p是根據（jù）多個被測量在重複性條件或複現性條件下重複觀測所（suǒ）得測量結果，按統計方法計（jì）算出的一次測量結果的分散性標準偏差，一般隻用於常規的規（guī）範化的測量（liàng）之中。例如:按檢定規程進行（háng）的校準工作，車間中（zhōng）的在線抽檢，某種產品（pǐn）中成分的抽樣化驗等。采用s_p的前提（tí）是:檢測方法不（bú）變；整個過程處於正常情況，被測量值（zhí）的大小變化對分散性不起（qǐ）主（zhǔ）要作用。由（yóu）於s_p的自由度一般可以比較容（róng）易地達到20以上（shàng），認為是相當可（kě）靠的，一般把它保留下來作為一（yī）種技術檔案（àn）而用於今後的相同條件下測量結果(往往隻重複二、三次，甚至不重複)不確定度的評定。
　　例如某種測量一般進行4次觀測，取算術平均值作為測量結果報出。這種規範化的（de）測量（liàng）如對10個被測量進行過了，則可以通過這10次的記錄，每一次可算出4個殘差v_i，一共（gòng）可算出（chū）40個殘差v_i。所有這些殘差的平方和除以10×(4-1)=30後開方，就是s_p，其計（jì）算式表示為:
    

　　式中的m是所用的被測量個數，上例中為10，式中（zhōng）的（de）n是每個被測量的次數，上例為4。按（àn）上例，這樣（yàng）得出的s_p的自由度（dù）υ=m(n-1)=30，也就是測量次數（shù）減被測量的（de）個（gè）數（shù）。
　　如果這10個被測量每次測量的次數並非都是4次，而是各不盡相同，則可以分別計算每一次的實驗標準偏差(按貝塞爾公（gōng）式)s_i，通過這10個不同的s_i及其相應不同的自由度ν_i(按n-1)由下式得出s_p，即
    

　　這時得到的s_p的自由度按測（cè）量次數減被測（cè）量個數即∑ν_i。
　　此外，還可以通（tōng）過一個被測量（liàng）的兩（liǎng）次測量（liàng）結果之差Δ來求一次測量結果分散性標準差。例如:10個被測量，每個均測了兩次，得到10個差值Δ_i，按（àn）貝塞爾公式計算差值Δ_i的標（biāo）準偏差s(Δ_i)為:
    

　　式（shì）中:按本例n=10，為10個差值的算術平均值，s(Δ_i)的自由（yóu）度為n-1，本例則為9。由於單次測量結果的標準差s(x_i)與s(Δ_i)之間（jiān）有:
　　因此，用這一方法得出的s(Δ_i)還要（yào）除以就是s_p，即單次測量（liàng）結（jié）果x_i的（de）合並樣本標準差（chà）。采用這種方法時，應有較多的被測量（liàng），以使其（qí）自由度足夠大，一般應（yīng）有20個以上。由於每個被測量隻進行兩次測量，實用中不少情況下是方便的，特別是被測量本身不（bú）很穩定的情況（kuàng）下，這一方法有其獨特的優點。

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　　5.4  不等精度加權平均值的實驗（yàn）標準差如何（hé）計算？
　　不管是（shì）重複性條件還是複現性條件下，隻要是處於統計控製狀態下，均可按貝塞爾公式計算單次測量結果或平均（jun1）值的標準偏差，這（zhè）種情況（kuàng）下，我們把這些進入貝塞爾公式的結果認為是等精度的，但如果對同一被（bèi）測量的（de）若幹個測量（liàng）結（jié）果的不確定度各不（bú）相等，就是非等精度的（de）測量結果，通過這些結果求出（chū）該被測量的最（zuì）佳估計時，應（yīng）按加權平均的辦法處理，其不確（què）定度的計算也要考慮各個結果的權，權是表示各個測量結（jié）果可靠程度的一個比值。我們過去說權與誤差的平方成反比，實（shí）際上是與不確定度的平方（fāng）成反比，或說與（yǔ）方差成反比。由於不確定度有幾種不同表達形（xíng）式(u，ku，k_pu)(參見3.4與3.5)，在權的計算中，應使各個結果的不確定度換算成用同一種不確定（dìng）度給出。
　　例如:對（duì）一個被測量有以下三個測量結果:
　　y₁=(1000.045±0.010)mm，k=2
　　y₂=(1000.015±0.020)mm，k=1
　　y₃=(1000.060±0.020)mm，p=95
　　以上三個結果±號後都是（shì）不確（què）定度，但包含因子k不同，第三個則是（shì）用擴展不確定度（dù）U₉₅給（gěi）出的，在進行加權平均時，應把他（tā）們換（huàn）算成同一種，通常是都算成k=1的標準差，成為（wéi）:
　　y₁=(1000.045±0.005)mm，k=1
　　y₂=(1000.015±0.020)mm，k=1
　　y₃=(1000.060±0.010)mm，k=1
　　設（shè）這三個結果的權分別為p₁，p₂與p₃，當設其中不確定度最大者p₂為1時，應有共同分子（zǐ）(20μm)²，得
    

　　加（jiā）權平均值按（àn）
　　y=∑q_iy_i/∑q_i
　　計算，得
　　

　　y的標準偏差按
    

　　上（shàng）式中的（de）v_i，也是殘差，等（děng）於y_i-y，m則（zé）為y_i的個數，本例中m=3。
　　s(y)=6.5μm
　　有些書上把稱（chēng）為單位權的標準偏差，以簡化計算。

　　5.5  直線擬合中表征曲線擬合參（cān）數的標準（zhǔn）不確定度如何評定？
　　直線擬合為最常（cháng）用也最簡單的一種，它給出兩個變量x、y間的線性關係。通過測（cè）量出一組數據(x_i，y_i)，i=1，2，…，N，得到的一條直線y=mx+b應該（gāi）是（shì）所有這些點(x_i，y_i)與這條直線垂直距離之差的平方和（hé）為最（zuì）小，所謂最小二乘即此意。式中m是直線斜率(也稱回歸係數)，b是直線在（zài）y軸上的（de）截距（jù），m由下式可算出:
    　　

　　例如:求測出的點(-5，-4)，(-1，-2)，(3，4)，(5，6)，(8，7)，(10，10)，(15，12)這7個點，N=7的計算列表如（rú）下（xià）:
    

　　斜率
　　y軸截距b=4.71-0.858×5=0.426
　　由此給出的回歸方程為:
　　y=0.858x+0.426
　　以上所得出的m及b的標（biāo）準偏差s(m)及（jí）s(b)的計算如下。
　　先出y_i的標準偏差s(y)，按貝塞（sāi）爾公式
    

　　式中（zhōng）y_i是按測量給出的，而y則是得到的式子給出的。上（shàng）式的2是由於這裏有兩個（gè）被測量。然後按下式分別評定m及b的標準（zhǔn）偏差為:
    

　　列出計算表:
    

　　 得:
    

　　自由度均為ν=N-2=5。

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　　5.6  A類評定方法有什麽（me）主要特點？
　　a.比B類方法更為（wéi）客觀；
　　b.較（jiào）具（jù）有統計學的嚴格性；
　　c.要求給定條件（jiàn）下的多（duō）次重（chóng）複觀測；
　　d.所得到（dào）的標準偏差，其可靠程度與重複觀（guān）測次數有關（guān）；
　　e.計算較為複雜。

　　5.7  在采用A類方法評定時應注意哪些（xiē）問題？
　　a.盡可能在重複測量中的（de）各次觀測值相互獨立，例如:重新抽樣、重新配製標準溶液、重新調整測量儀（yí）器的零位；
　　b.所（suǒ）有假定為隨機性的效應是否（fǒu）在（zài）整個實驗中確是隨（suí）機的，他們的（de）分布均值以及方差（chà）是否不變，是否存（cún）在未知的漂移；
　　c.重複性條件或複現性條件應充分保證；
　　d.影響量不（bú）應超出允許（xǔ）範圍；
　　e.當某種測量隻進行了（le）一次（cì），並未在重複性條件下或複現（xiàn）性條件下多次觀測時，未必（bì）不存（cún）在A類評定方法。例如（rú），采用合並樣本標準偏差s_p。

　　5.8  是否有（yǒu）可能在測量（liàng）不確定度評定中，就（jiù）隻有（yǒu）一個（gè）A類不（bú）確定度？
　　當隻有一個A類不確定（dìng）度分量起主要作用，其他的不確定度分量之值甚小（xiǎo）而可忽略不計的情況（kuàng）下，在評定測量不確定度時（shí）就隻有這一個A類分量。例如（rú）在樣品（pǐn）元素分（fèn）析中，對樣品的消化所帶來的不確定度（dù）遠遠大於分析儀器的不確定度及（jí）其他（tā）分量。又如對樣（yàng）品（pǐn）熱導（dǎo）率（lǜ）的測量中，重複條（tiáo）件下的分散性標準差遠遠大於所用測量儀器的不確定度分量等。

　　5.9  A類評定方法的舉例
　　設重複（fù）性（xìng）條件下，測量某一電流的8次獨立重複觀測值I_i為:130，141，120，110，118，124，146，128 mA，其平均值為127 mA，按貝塞爾公式，單次觀測值的標準不確定度:
　　s(I_i)=11.9 mA=12 mA
　　平（píng）均值的標準偏差（chà）s():
　　
　　自由度ν=n-1=8-1=7

　　5.10  協方差的A類評定中（zhōng）應（yīng）注意什麽？
　　例如用同一個（gè）50kg的標準砝碼對（duì）兩個50kg的工作用砝碼進行校準，則在兩個校（xiào）準結（jié）果中既包含有校準過程（chéng）中隨機效應導（dǎo）致的不（bú）確定度分量，也包含了所用同一標準（zhǔn）砝碼證（zhèng）書上給出（chū）的實際值的不確定度（dù）這一係統效（xiào）應導致的不確定度分量。後者（zhě）的存在導致（zhì）兩個50kg砝碼的校準（zhǔn）結果相關。這兩種（zhǒng）分量的相對大小，決定了相關的強弱。如果上述第一種分量遠小於第二種，則它（tā）們（men）是強相關，否則為弱相關（guān）。相關程度的定量指標為相關係數r，借助（zhù）於有限次數（shù）(n次)的重複測量，通過協方差s()進（jìn）行A類評定的（de）計算式如下:
　　
　　式中:q_k是第一（yī）個被檢砝碼（mǎ）的第k個結（jié）果，r_k是第二個被檢砝碼的第k個結（jié）果。是第一個砝碼n個結果的算術平均值，則是第二個砝碼的平均值。當然，q_k-以及r_k-就是它們各自的n個殘差。必須注意的是，應（yīng）由n個50kg標準砝碼來對這兩個50kg砝碼校準而分別得出n對測量結果:q₁，r₁；q₂，r₂；…；q_n，r_n。而決不是用一個50kg標準砝碼對這（zhè）兩個砝校重複校準n次。
　　當得出s()後，可（kě）按下式
    

　　計算被校準的兩個50kg的測量（liàng）結果間的相關係數r。式中:s(q_k)與s(r_k)為按貝塞爾公式所計算的一次測量的實驗標準（zhǔn）偏差。很明顯，本例中s(q_k)=s(r_k)。當s()s(q_k)時，r≈1即強相關，而當即不相關。
　　可以看（kàn）出，這種評定方（fāng）法雖然客觀（guān），但需要較多的標準器、實驗過程與計算也較複雜，隻有在特殊情況下(例如製定檢（jiǎn）定規程（chéng）)時才采用。