JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》規定，除計（jì）量學基礎（chǔ）研究基本物理常數測量，以及複現國際單位製單位的國際比對（duì）等領域通常僅給出合成標準不確定（dìng）度（dù）外，在其餘領域中一般均要求給出測量結果（guǒ）的擴展不確定度。顯然，擴展不確定度U_p的大小與所要（yào）求的置信概率p有關。與擴展不確定度U_p所對應的置信概率p通常是事先規定（dìng）的(在大多數情況下規定置（zhì）信概率p=0.95)。由於置信概率p與包含因（yīn）子k之間的函數關係與被測量Y的分布有關，因此要由置信概率p求出包含因子k，必須先確定被測量Y的分布。並根據被測量Y的不同分布采用不同的方法來確定包含因子k。
    被測量Y的分布（bù）是由所有各輸入量X_i的（de）影響（xiǎng）綜（zōng）合而成（chéng）的，它與各輸入量的分（fèn）布以及不確定度分量的大小有關。對於不同的被測量，由於輸入量以及數（shù）學模型各不相（xiàng）同，因（yīn）此要給（gěi）出確定被測量Y分布的通用模（mó）式幾乎是不可能的。一般隻能根據具體情（qíng）況來判斷被（bèi）測量Y可能接近於何種分布。
    被測量（liàng）Y可能值的分布，大體上可以分為下列三種情況（kuàng）:
    (1)被測量 Y接近於正態分布；
    (2)被測量Y不接近於正態分布，但接近於某種其他的已知分布，如矩形分布、三角分布、梯形分布等；
    (3)以上兩種情況均（jun1）不成立，即無法判斷被測量Y的（de）分布。

一、被測量Y的分布接近於正態分布的判定——中心極限（xiàn）定理

   在統計數學中，凡采用極限方法所得出的一係列定理，習慣統（tǒng）稱（chēng）極限定理。按其內容，極限（xiàn）定理可以分為兩大類（lèi）。第（dì）一種類型（xíng）的極限定理，是闡述在（zài）什麽樣的條件下，隨機事件有接（jiē）近於0或1的概率。也就是說，是證明在什麽樣的條（tiáo）件下，隨（suí）機事件（jiàn）可以轉化為不可能事（shì）件或必然事件。有關這一類定理統稱為大數定理。第二種類型（xíng）的極限定理，是闡述在什麽樣的條件下，隨機變量之和的分布接近（jìn）於正態分布。也就（jiù）是說，是證明在什麽樣的條件下（xià），隨機變量之和的分布可以轉（zhuǎn）化為正態分布。有關這一類定理統稱為中心極（jí）限定理。
    中心極限定理是概率論的基本極（jí）限定理之一（yī），它擴展了正態分布（bù）的（de）實（shí）用範圍。簡單地說，中心極限定理可以（yǐ）敘述為:如（rú）果一個隨機變量等（děng）於大量的相互（hù）獨立（lì）的隨機變（biàn）量之和，則不論這些（xiē）獨立隨機變量具（jù）有（yǒu）何種類型（xíng）的分布，該隨機變量的分布近（jìn）似於正態分布。隨著獨（dú）立隨機變（biàn）量（liàng）個數的增加，它們的和（hé）就越接近於正態分布。當這些隨機變量的大小相互越接近，所需（xū）的獨立隨機變量個數就越（yuè）少。在擴展不確（què）定度的評定（dìng）中，將涉及如何用中心（xīn）極限定（dìng）理來判斷被測量Y是（shì）否服從或（huò）接近正（zhèng）態分布。
    應用中心極限定理可得到下述主要（yào）推論:
    (1)如果，即（jí）被測量(輸出量)Y是各輸入量X_i的線性函數，且各X_i可能值的分布（bù）均為正（zhèng）態分布並相互獨立（lì），則Y服從正（zhèng）態分布。也就是說（shuō），正態分布的線性疊加仍是正態分布。
    (2)即使隨機變量X_i不是正態分布（bù），根據中心（xīn）極限定理，隻要Y的方差σ²(Y)比各輸（shū）入量X_i的分量（liàng）的方（fāng）差(X_i)大得（dé）多，或各分量的（de）方差(X_i)相互接近，則Y近似地滿足正態分（fèn）布（bù）。
    (3)若在相同條件下對被測量Y作多次重複測量(m次)，並取平均值作為被測（cè）量的最佳估計值（zhí）。此時不論Y為何種分布，隨測量次數m的（de）增大，的分（fèn）布趨於正態分布。
    即使對於非線性數學模型y=f(x₁，x₂，…x_n)，隻要其泰勒級數展開式（shì）的一階近似成立，即滿足不確定度傳播定律:
    
    則仍可以得到下述推論:
    (1)若輸入量X_i的個數越多，Y就越接近於正態分布；
    (2)若各輸入量X_i對被測量Y的不確定度的貢獻大小c_iu(x_i)相互越（yuè）接近（jìn），則Y就越（yuè）接近於正態分布；
    (3)為使被測量Y的分布與正態分布達（dá）到一定的接近（jìn）程度，若各輸入量X_i本身越接近於正態分布，則所需的輸入量X_i的（de）個數就越少。
    根據上述推論，在測量不確定度評定中可以應用下述判據來確定是否可以近似地估計為正態分布（bù）:
    (1)在重複性或複現性條件下多次重複測量的算術平均值（zhí）的（de）分布；
    (2)若給出被測量Y的擴（kuò）展不確定度U_p，並對其（qí）分布沒有特殊（shū）注明時；
    (3)若被測量Y的合成標準不確定度（dù）u_c(y)中相互獨（dú）立的分量u_i(y)較多，並且它們之間的大小也比較接近時；
    (4)若（ruò）被測量Y的合成標準不確（què）定（dìng）度u_c(y)中，有兩個（gè）相互獨立的界限（xiàn）值接近的三角分布，或有4個或4個以上相互獨立的界限值接近（jìn）的均勻分布時（shí）；
    (5)若被測量Y的合成標準不確定度u_c(y)的相互獨立分量（liàng）中，量值較大而起決定性作用的分量接近正態分布時；
    (6)當所有分量均滿足正態分布時。
    總之，正態分布的判定要求不確定度分量越多（duō）越好（hǎo），且各分量的大小越接近越好。

二（èr）、被測量Y接近於某種（zhǒng）非正態分布的判定

   當不確定（dìng）度（dù）分量的數目不多，且其中有一個分量為占優勢的分量，則可以判定被測量Y的分布接近於（yú）該占優（yōu）勢分量的分布。
    各不確定度分量中的最（zuì）大分量（liàng）是否為占優勢的分量（liàng）可用下述方法判定:將所有不確定度分量按大小次序排（pái）列，如（rú）果第二個不確定度（dù）分量的大小與最大分量之比不超（chāo）過0.3，同時所有其他分量均很小時，則可以認為第一個分量為占優勢的分量。或者說，當所用其他分（fèn）量（liàng）的合成標準不確定度不超過（guò）最大分量的0.3倍時，可以判定最大分量為占優勢的分量。對於該判定標準可以作如下分析。
    假定在測量不確定度概算中，有（yǒu）N個不確定度分量。其中有一個分（fèn）量（liàng）是明顯占優勢的分量，並假定它為u₁(y)，則測（cè）量結果的（de）合成標準不確定度u_c(y)可以表示為:
    
    式中u_R(y)為所有其他非優勢分量的合（hé）成，即
    
    將式(1)展開後，可得:
    
    當（dāng）條件滿足時，等式右（yòu）邊方括號中的第二項為:
    
    也就是說，與優（yōu）勢分量u₁(y)相比，所有其他分量對合成標準不確定度的影響不（bú）足5%。對於不確（què）定度評定來說（shuō），它對被測量分布的影響完全可（kě）以忽略。
    進一步推（tuī）論，若在各不確定度（dù）分量中，沒有任（rèn）何一個（gè）分量是占優勢的分量，但如（rú）能發現其中（zhōng）最大兩（liǎng）個分（fèn）量能合成為占優勢的分（fèn）量，即所（suǒ）有其他分量的合成標準不（bú）確定度與兩個最大分量的合成標準（zhǔn）不確（què）定度（dù）之比不超過0.3時，則可以認為（wéi）被測量（liàng）的分布接近於該兩個最大分量的合成分布。例如（rú）:若兩個最大分量均為矩形分（fèn）布且寬度相（xiàng）等，則被測量接近於三角分布；若兩者為寬度不等的矩形分（fèn）布，則被測量接近於梯形分布。
    總之，被測量Y接近（jìn）於正態分布和接（jiē）近於（yú）其他某種非正態分（fèn）布是兩種不同的極（jí）端情況。正（zhèng）態分布的判定要求不確定度分量的（de）數目越多越好，且各分量的大小越接近越好。而其他分布的判定則要求不確定度分量的數目越少越好，且各（gè）分量的大小相差越懸殊（shū）越好。
    當無法用中心極限定理判斷被測量接近（jìn）於正態分布，同時也（yě）沒有任何一（yī）個分（fèn）量（liàng），或若（ruò）幹個分量合成為占優（yōu）勢的分量，此時可以認為無法判定被測量Y的（de）分布。
    被測量Y分布的判定還需要有實際的（de）經驗，下麵舉例說明如何根據各不確定度分量的分布和大小來判（pàn）斷被測量的分布。所有的例子均來（lái）自於不確定度評定的實例。
    例1:各不確定（dìng）度分量的大小和分布見表1。
  

   共有（yǒu）6個不確定度分量，其中4個（gè）較大的不（bú）確定度分量大小相近，故（gù）根據中心極限定理立即（jí）可以判（pàn）定被測量接（jiē）近於正態分布。
    例2:各不確定度分（fèn）量的大小和分布見表2。  

   由（yóu）於:
    (1)在5個不確定度分量中，沒有任何一個不確定度分量是（shì）明顯占優勢的分量；
    (2)兩個最大的分量為正態（tài）分布，且正態分布的線性（xìng）疊加仍為正態分布；
    (3)3個較小分量均是矩形分布，其合成分布呈凸形，比（bǐ）較接近（jìn）於正態分布。
    於是可以判斷被測量接近於正態分布。
    例3:各不確定度分量（liàng）的大小和分布見表3。  

   由於:
    (1)在4個不確定度分量中，兩個較小的不確定度分量對合成分布的貢獻不大。兩個最大分量及其（qí）合成不服從正態分布，故被測量不接（jiē）近於正態分布；
    (2)第4個分量是最大分量，但它在合成標準不確定度中不是占優勢的分量，故也不能判定被（bèi）測量接近於矩形分布；
    (3)由於有兩個不確定度分量（liàng）甚小，故兩個較大分（fèn）量的合成（chéng）在合成標準不（bú）確定度中是占優勢的分量（liàng），故被測量接近（jìn）於兩個較大分量的合成分布。
    兩個不（bú）等（děng）寬度矩形分布的合成滿足梯形分布，故（gù）被（bèi）測量接近於梯（tī）形分布（bù）。其中第三個分量是由半寬度為25μm的矩形分（fèn）布得到（dào）的，第四個分量（liàng）是由半寬度為50μm的矩形分（fèn）布得到的。故合成後，梯形分布上底的半寬為兩者之差25μm，下底的半（bàn）寬為兩者之和75μm，梯形的角參數β值為0.33。
    例4:各不確定度分量（liàng）的大小和分（fèn）布（bù）見表4。   

   由於:
    (1)僅有3個不確定度分（fèn）量，且最大分量為非正態分布，故被（bèi）測（cè）量（liàng）不可能接近正態分布（bù）；
    (2)最大分量是占優勢的分（fèn）量，其大小約為另兩個（gè）分量的5倍，故被（bèi）測量接近於占優勢（shì）分量（liàng）的（de）分布，即矩（jǔ）形分布（bù）。