測量（liàng）不確定度（dù）理解與應用(二)
極差法和貝塞爾法之間的比（bǐ）較（jiào）

　　 標準（zhǔn）不確定度的A類評定定義為:“用對觀測列進（jìn）行統計分析的方法，來評定標（biāo）準不確定度”。國家（jiā）計量技術規範JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》中介紹了兩種A類評定的方法（fǎ），貝塞爾（ěr）法和極差法（fǎ）。
    1.貝（bèi）塞爾法
    當在重複性（xìng）或複現性條件（jiàn）下，對被測量X進行n次獨立觀（guān）測。若得到的測量結果分別為x₁，x₂，……，x_n，n次測量的平（píng）均值為。於是用貝（bèi）塞爾公（gōng）式可（kě）以（yǐ）求出單次測量（liàng）結果x_i的實驗方差s²(x_i)和（hé）實驗標（biāo）準差（chà）s(x_i)。
    
    2.極差法
    當在重複性或複現性條件下（xià），對被測量X進行n次獨立觀測。若n個測量結果（guǒ）中最大值和（hé）最小值之差為R(稱為極差)，在可以估計X接近正（zhèng）態分布的條件下，單（dān）次（cì）測量結果的實驗標（biāo）準差s(x_iv)可（kě）近似地表示為:
    s(x_i)=R/C=u(x_i)
    式中係數C為極差係數。極差係數之值與測（cè）量次數n的大小有關。表1給出（chū）極差法的極差係數（shù）和自由度（dù）與測量次數的關係（xì）。
    

    既然隨機變量（liàng）X的標準偏差可以用（yòng）兩種方法得到，就（jiù）不（bú）可避免地會提出兩種方法孰（shú）優孰劣的問題。無疑（yí），極差（chà）法具（jù）有計算簡單的優（yōu）點。但在（zài）計算機應用已經十分普（pǔ）及的今天，用貝塞爾公式計算也已變得相（xiàng）當容易。因此關鍵問（wèn）題還在於用何種方（fāng）法估算得到的不確定度更為準確。
    表麵上看來，用貝塞爾公式進（jìn）行計算時使用了全部n個測量結果，而極差法隻用了（le）一個極大值和一個極小值，其餘數據均棄之不用，因此用貝（bèi）塞爾法得到（dào）的實驗標準差應該比極差法更為可靠。比較兩種方法的自（zì）由（yóu）度也可以看出，極差（chà）法的自（zì）由度比貝塞爾法（fǎ）小(貝塞（sāi）爾法的自由度為n-1，而（ér）極差法的自由度<n-1)。於是可（kě）以（yǐ）得到同樣的結論，貝塞（sāi）爾法比極差法更為可靠。
    但實際上問題並（bìng）沒有這麽簡單。根據定義，用標準偏差表示（shì）的不確定度稱為標準不確定度。因此從（cóng）理論上說，應（yīng）該計算的是標準偏差σ，而不（bú）是實驗標準差s。但標準偏差是一個總體參數，也就是（shì）說，要進行無限多次測量（liàng）才能得到。在（zài）實際工作中（zhōng）隻能用樣本（běn）參數來代替總體參數，即用實驗標準差s來（lái）作為標準偏差σ的估計量。理論（lùn）上可以證明，實（shí）驗標準差s並不是標準（zhǔn）偏差σ的無偏估計量。這就是說，當用實驗標準差s來代替標準偏差σ時，除了實（shí）驗標準差s本身是（shì）一個隨機變量外，它的數學期望值(即無（wú）限多次測量（liàng）結果（guǒ）的平均值)相對於標準偏差（chà）σ還有一個（gè）與測量次（cì）數有關的係統性偏差。測量（liàng）次數越少，其係統性偏差（chà）就越大（dà）。因此可以對貝塞爾公式作一無偏差的修正。經過無偏差修正後（hòu）的貝塞爾公式為:
    
    上（shàng）式中修正因子M_n的數值見表2。由表2可知，當測量次數n≤6時，隨著測量次數減少，偏離係（xì）數M_n將明顯加速偏離1。
    

    也可以分別計算出用貝塞爾公式和極差法得到的實驗標準差的（de）相對標準不（bú）確定度，其計算結果見表（biǎo）3。由表3可（kě）以（yǐ）看出，當測量次數n=10時，兩種方法得到的實驗（yàn）標準差準確程度幾乎相同。當n>10時，貝塞爾（ěr）法（fǎ）優於極差法；當n<10時，極差法優於貝塞爾法。至於修正的貝塞爾公式，相比而言雖然最為準確（què），但因比較麻煩實際（jì）上很少使用。這就是為什麽國家計量技術規範JJF1059-1999中在給（gěi）出極差係數及自由度表後指出“一般在測量次（cì）數較小時采用該法”，以及國家計量技術法規統一（yī）宣貫教材《測量不確（què）定度評（píng）定與表示指南（nán）》中同時還指出“測量（liàng）次數以（yǐ）4～9次為宜”。
    

    上麵的分析，僅是針對實驗標準差而言的。在大部分的測量不確定度評定中，測量不確定度A類評（píng）定僅是其中的一個或幾個分量。他們還（hái）將與其他B類評（píng）定的分量合（hé）成，才能（néng）得到合成標準不確（què）定度。合成的方法是方差（chà）相加。雖然實驗標準差s並不是標準偏（piān）差的無偏估計量，但卻可以證明實驗方（fāng）差s²是總體方差σ²的無偏估計量（liàng）。因此，若A類評定需要（yào）和其他B類（lèi）分量合成，且A類（lèi）評定分量不占優勢時，則無論測（cè）量次數的多少，貝塞爾（ěr）法將優於極差法。
    因此筆者認為結論應該是:
    (1)當A類評定不確定度分量不是合成標準不確定度中惟一占優勢（shì）的分量時，則無論測量（liàng）次數多少（shǎo），貝塞（sāi）爾法優於極（jí）差法（fǎ）。
    (2)當A類評定不確定度（dù）分量是合成標準不確定度中惟一占優勢的分量時，則兩種方法的優劣與（yǔ）測量次數有關。當測量次數n<10時，極差法（fǎ）優於貝塞爾法；當測量（liàng）次數n≥10時，貝塞爾法（fǎ）優於極差法。