1  如（rú）何（hé）建立數學（xué）模型
    　　 2  極差（chà）法和貝塞爾法之間的比較
    　　 3  被測（cè）量Y可能值分布的判定（dìng）
    　　 4  包含因子k的選擇
    　　 5  測量不確定度評定在不同應用中的差別
    　　 6  測量誤差的基本概念
    　　 7  測量不確定度（dù）的基本概念
    　　 8  測量誤差和測量不確定度的（de）差別

　　本期刊載的是第一篇:“如何建立數（shù）學模型”。其餘各篇今後將陸續刊登。讀者如有要求，希望討論（lùn）哪些問題，也可以來信建議。如有可能，我（wǒ）們將盡可能滿足大家的要求。
    在測量不確定度評定（dìng）中，建立數學模型也稱為測量模型化（huà），目的是（shì）要建立滿足測量不確定度評定所要求的數學模型，即建立（lì）被測量Y和所有各影響量X間的函數關係，其一般形式可寫為:
    Y=f(X₁，X₂，…，X_n)
    可以（yǐ）說，建立數學模型是進行測量不確定（dìng）度評定最關鍵的（de）第一步，也是（shì）許（xǔ）多初學者在（zài）進行測量不確定度評定時遇到的第一個困難。
    《測量不確定度表示指南》(GUM)在摘要介紹測量（liàng）不確定度（dù）評定（dìng）步（bù）驟時，首（shǒu）先就提到要建立數學模型，並說:“The function f should contain every quantity, including all corrections and correction factors, that can contribute a significant component of uncertainty to the result of measurement. ”。其意是數學模型f中應包含所有對（duì）測量結果的不（bú）確定度有影響的修正值和修正因子。也就是說，數學模型中（zhōng）應包含所有應該考慮（lǜ）的（de）影響量，而每一（yī）個影響量（liàng）將對測量結果貢獻一（yī）個值得考慮的不確（què）定度分量（liàng）。因此一個好的數學模（mó）型，其中所包含的影響量和此後不確定度評定中（zhōng）所考慮的每一（yī）個不確（què）定度分量（liàng）應該（gāi）是一（yī）一對應的。這（zhè）樣建立起來的數學（xué）模型，既能用來計算測量結（jié）果，又能用來（lái）全麵（miàn）地評定測量結（jié）果的不確定度。
    要找（zhǎo）出每一個影響量與被（bèi）測量之間的（de）函數關係，往往是很困難的，有時簡直不可能得到兩者關係的解析表達式。於是許多初（chū）學者往往將測量中用來獲得被測量（liàng）的計算公式作為（wéi）數學（xué）模型而列出。例如在各種測（cè）量中，最經常采用的方法之一是比較（jiào）測量。將被測（cè）量值y和參考標準所提供的標準量值s相比較，通過測量兩者之差Δ可以（yǐ）計（jì）算出被（bèi）測量y。於是在已經（jīng）發表的各種測量不確定度評定的文章中，經常見到將y=x+Δ作為數學（xué）模型的情（qíng）況（kuàng）。但在（zài）進行不（bú）確定度評定時，則又往（wǎng）往脫離數（shù）學模型而重新考慮各個不確定度分量。這樣的數（shù）學（xué）模型對測量不確定度評定實際（jì）上毫無幫助。
    在某些特殊情況下(例如某（mǒu）些（xiē）檢測項目)將計算公式作為數學模型可（kě）能是允許的，但一（yī）般說來不要把數學模型簡單地（dì）理解為就是計算測（cè）量結果的公式，也不要理解為就是（shì）測（cè）量的基本原理公式。兩（liǎng）者（zhě）之（zhī）間經常是（shì）有區別的。
    從原則上說，似乎所有對測量結果有影響的輸入量都應該在計算公式（shì）中出現，但實際情況卻不然（rán）。有些輸入量雖然對測量結果有影（yǐng）響，但由於信息量的缺乏，在（zài）具體測量（liàng）時無法定量地計算它們對測量結果的影響。也有些輸入量由於對（duì）測量結果的影響（xiǎng）很小（xiǎo）而被忽略，故在測量結果的計算公式中也不出現，但它們對測量結果的（de）不確定度的影響（xiǎng）卻可能是必須考慮的。因此如果僅從計（jì）算公式出發來（lái）進行不確定度評定，則上（shàng）述這（zhè）些不確（què）定度分量就可（kě）能被（bèi）遺漏。當然，在（zài）某些特殊情況下如果所有其他不確定度貢獻因素的影響都可以（yǐ）忽略不計時，數學模（mó）型也可能與計算公（gōng）式相同。
    對（duì）於（yú）不同（tóng）的被測量和不同的測量方法，數學模型的具體形式可能差別很大，但實際上都可（kě）以用一種比較係統的方式來給出數學模型，或者說可（kě）以給出數學模型的通式。
    根據測量誤差（chà）的定義:誤差=測量結果-真值。同時誤差又可以分為隨機誤（wù）差（chà）和係統誤差兩類，且三（sān）者之間的關係為:誤差（chà）=係統誤差（chà）+隨機誤差。於是可以得到（dào）:
    真值=測（cè）量結果-誤差
        　　=測量（liàng）結果-係統誤差-隨機誤差
    由於修正值等於負的誤（wù）差，於是上麵的關（guān）係式就成為:
    真值=測量結果-係統誤差-隨（suí）機誤差
        　　=測量結果+係（xì）統誤差的修正值+隨機誤差的修正值（zhí）
    實際上，真值就是想得到的被測（cè）量的測量結果，於是上式可寫（xiě）成
    被測量=測量結果+係統誤（wù）差的修正值+隨機誤差的修正值

   例1:對於常見的量塊比較測量，若l_s為標準量塊的長度，Δl為測得的兩量塊的長度（dù）差，於是被測量塊長度l_x的計算公式為:
    l_x=l_s+Δl
    由於測量時量塊的溫度通常會偏離標準參考溫度20℃，考慮到溫度和線（xiàn）膨脹係數對測量結果的影（yǐng）響，計（jì）算公式成為:
    l_x=l_s+Δl+l_sδαθ_x+l_sα_sδθ
     式中α和θ分別表示線（xiàn）膨脹係數和對標準參考溫度20℃的偏差；腳標“_s”、“_x”分別表（biǎo）示標準量塊和被測（cè）量塊；以及δθ=θ_s-θ_x和δα=α_s-α_x。
    考慮到量塊測量點可能偏（piān）離量塊測量麵中心點對測量結果的影響，數學模型成為:
    l_x=l_s+Δl+l_sδαθ_x+l_sα_sδθ+δl
    將此數學模型和上麵給出的通式相比較就可以發現，等式右（yòu）邊的第一、二項l_s+Δl即是由測量得到的未修正的測量（liàng）結果。等式右邊的第三、四項l_sδαθ_x+l_sα_sδθ是對由溫度偏差所引入的（de）係（xì）統誤差（chà）的修正值，在本例中這（zhè）兩項的數值十分小而可（kě）以忽（hū）略，但它們對測量結（jié）果不（bú）確定度的影響是必須（xū）考慮的。等式右邊的（de）最後一項δl，是表示由於測量點可能偏離量塊中（zhōng）心對測量結果的影響。測量點的偏離對測量結（jié）果引入隨（suí）機誤差，因此最後一項實際上是對（duì）該隨機誤差的修正值。由下圖可見兩者之間的對（duì）應關係。

   例2:砝碼校準，將被測砝碼的質量與具有相同標稱值（zhí）的標準砝碼相比較。若被校準（zhǔn）砝碼和標準砝碼的折（shé）算質量分別為m_x和m_s，測得兩者的質量差為Δm，於是被校準砝碼折算質量m_x的計算公式為:     m_x=m_s+Δm
    考慮到標準砝碼的質量自最近一（yī）次校準（zhǔn）以來可能產生的漂移Δm_d，質量比較儀的偏心度和磁效應的影響Δm_c，以及空氣浮力（lì）對測量結果的影響（xiǎng）δB後（hòu），其數學模型成為:
    m_x=m_s+Δm+δm_d+δm_c+δB
    模型中等式右邊的第一、二項為未（wèi）修正（zhèng）的測量結果。該測量不（bú）存在值（zhí）得考慮的係統誤差，也就（jiù）是說，在數學模型中不存在對係統誤差的修正值。等式右邊的第三、四、五項為對三項隨機誤差分量的修正量。與（yǔ）數學模型通式之間的對應關係為:

   在建立數學模型時，未修正的測量結果和（hé）係統誤差的修正值通常（cháng）都能比較容易地得到解析形式的數學（xué）表達式。惟有隨機誤差的修正值無（wú）法（fǎ）得（dé）到其解析形式的表達（dá）式。因此隻（zhī）能在（zài）數學（xué）模型中（zhōng）簡單地加上一項，表示對隨機（jī）誤差的修正值。根據隨機誤差的定義，無限多次測量結果的隨機誤差的平均值等於零，因此這（zhè）些項的數學期（qī）望為零。也就是說，增加（jiā）這些修正值後不會對被測量的數值有影響。需要知道的是這些修正值的可能（néng）取值範圍，通常可以由測量者的（de）經驗（yàn）或輔助的實驗測量得到。再由（yóu）假（jiǎ）定的（de）概率分布（bù），可（kě）以通過B類評定估算出它（tā）們的標準不確定度。
    有些測量，其計算公式中可能僅包含各影響量的積和商，即被測量可以用下述函數形式表示:

   式中的係數c並（bìng）非（fēi）靈敏係數，而是比（bǐ）例常（cháng）數，且指數p_i可以為正數或負數。在這種情況下，需要增加的不是修正值，而是相乘（chéng）的修正因（yīn）子。此時，數學模型的通式可（kě）以表示為:被測量等於未修正測量結果的計算公式乘以由於係統誤（wù）差引入的修正因子（zǐ）(它們的數學期望值（zhí）不等於1)，再乘以由於隨（suí）機誤差引入的修正因子(它們的數（shù）學期望值（zhí）等於1)。
    有些領域（yù），例如化學分析領域，經常出現這種類型的數學模型。

   例3:在用原子吸收光譜法測定陶瓷容器中（zhōng）鎘的溶出（chū）量的實例中，被測量為被醋酸溶液浸泡的容器單位表麵積鎘的溶（róng）出量r，它可（kě）以表示（shì）為:
    
     式中:ρ₀——醋酸浸取液（yè）中鎘的（de）質量濃度；V_L——醋酸浸取液（yè）體積；a_V——被醋酸溶（róng）液浸泡的容器表麵積。
    考慮到還有三項隨機誤差（chà）在（zài）上述公式中未（wèi）反映出來，它們分（fèn）別是浸泡溫（wēn）度、浸（jìn）泡時間和醋酸的體積分數對測量結果的影響，於是最後采用的數學模型成為:
    
    在該數學模型中，是未修正的測（cè）量結果（guǒ），f_temp、f_time和f_acid分別是相對（duì）於三項隨機誤差的修正因子，它們的數學期望（wàng）均等於1。在（zài）本例中不（bú）存在（zài）值得考慮的係統誤（wù）差。
    由此可見，寫出符合要求的數學模型並（bìng）不難，關鍵還是要找到所有能影響測量結果的誤差來（lái）源。一般先根據測量的最基本原理導出被測量的（de）基本計算公式，然後考察該（gāi）計算公式是否已經對所有的係統誤差進行了修正，否則就補充加入其餘未考慮的係（xì）統誤差分量的修正（zhèng）值(或乘以修正因子)，最後再加上對所有隨機誤差分量的修正值(或乘以修（xiū）正（zhèng）因子)。隻（zhī）要對測量（liàng）工作有一定程度的了解，寫出計（jì）算公式和（hé）係統誤（wù）差修正值的函數（shù）形式對大部分測量人員並不困難，因此要做的僅是簡單地將所有需要考慮（lǜ）的隨機誤差的修正值(或修正因子)補充進（jìn）入數學模型。
     必須注意，即（jí）使對於相同的被（bèi）測（cè）量和相同的測量方法，數學模型也不是一（yī）成不變的。隨著所選擇的影響量的不同，對測（cè）量不確定度評定所要求的嚴（yán）密程度的不同，其數學模型也可能會有所不同。
    此外，對於測量儀器和量具的常規檢定或校準來（lái）說，還必（bì）須注意兩者在數（shù）學模型上（shàng）可能存在的微小差別。當被測對象是（shì）測量（liàng）儀器時，由於儀器本身一般不提（tí）供標準量值，其量值需要用其他測量標準進行標定。故在進行（háng）測量不確定度評（píng）定時，被測量應該（gāi）是測量儀（yí）器的示值誤差E_x，因此其數學模型需寫成示值誤差（chà）的形式（shì），即（jí）“E_x=……”。當被（bèi）測對象是實物量具時，由於實物量具本身能提供一個標準量值，故在進行測量（liàng）不確定（dìng）度評定時，被測量既可以是其（qí）相對於標（biāo）稱值的偏差(相當於示值誤差)，也可以是它所提供的量值。也就是說，其數學模型既可以寫（xiě）成“y=……”的（de）形式（shì），也可以（yǐ）寫成“E_x=……”。由於兩者之間（jiān）僅相差一個標稱值，而標稱值是一個規定值而不存（cún）在不確定度，因此兩種數（shù）學模型在不確定（dìng）度評定時毫（háo）無差別。