遼寧省盤錦市計量測試所  楊晨鬆

　　GUM中及JJF1059—1999中對函數數學模型（xíng）都有（yǒu）較為具體的說明（míng）。而數學模型的建立，在測量不確定度的分析評定中占有首要位置。所謂數學模（mó）型就是用數學語言給出的物理量之間的關係。測量的數學模型（xíng）就是指（zhǐ）得到被測量Y所列的數學（xué）計算式。    

　　一、由於實驗測量手段、測量過程的差異，同一被測量其數學模型(函數形式)會有不同的表（biǎo）現形式

    例（lì）如:當（dāng）我們選（xuǎn）用了天平、砝碼和已知密度ρ₀的液體，測量一個球體的密度ρ。
    方法一:兩次稱（chēng）重法。分別在空（kōng）氣及液體中對球體進行稱重m=ρV；m′=ρ₀V(V——球體積、m——球體空氣中質量、m′———球體液體中質（zhì）量)。合並（bìng）以上兩式:
    方法二:測球體積法。利用流體靜力學阿基米德定理測得V，用（yòng）天平測出質量m，得到被測量ρ=m/v
    在實踐（jiàn）中（zhōng）采取哪種函數型式能取（qǔ）得被（bèi）測量（liàng）的更小的不確定（dìng）度，則（zé）依據所采用的測量方法和（hé）實驗條件而定。
    

　　二（èr）、在建立合理的數學模型後，就可以對各輸入量進行（háng）分析和合成了

    一種情況輸入量x₁、x₂、……、x_n與輸出（chū）量Y間的關係是:Y=a₁ x₁+a₂ x₂+……+a_n x_n，這種函數（shù）關（guān）係稱為線性函數，例如一維坐標上兩點間（jiān）距S_AB=X₂-X₁；等臂天平上（shàng）砝碼稱重W=g₁+g₂+……+g_w等都屬此類。其特點是輸入量各項指數均為正1，而各項係數可正可負。另一種情況，當函數關係式中輸入量相乘、相（xiàng）除或指數不為1時，稱為（wéi）非線性函數。例（lì）如通過圓的直徑的測量得到（dào）圓的麵積:S=π(D/2)²；在自由落體中，通過起始與終點的（de）時間間隔測量（liàng）得到下落距離等（děng）都屬此類。
    自（zì）由（yóu）落（luò）體運動(不計空氣阻力)通過測始末時間間隔t，求下落距離S的最佳（jiā）估值。這是一個非線性函數，求被測量（liàng）的最佳估值。
    
    
    不難證明:
    
    或者說S≠S′
    在數學中我們（men）知道第一種方法得到的S更為準確。也就是說對非線性函數而言，先分別求出輸出量的值再（zài）將輸出量的值取算術平均值的算（suàn）法更具（jù）有優（yōu）越性。
    以兩塊砝碼求和為例（lì），設標準不確定（dìng）度μ(m₁)=μ(m₂)=0.5g，m₁=m₂=500g，輸出量m=m₁+m₂=1000g的不確定度μ(m)=[μ²(m₁)+μ²(m₂)]^0.5=0.71g；相對標準不確定度μ_REL(m)=μ(m)/1000=0.7×10^-3。
    換一種方法（fǎ）求μ_REL(m)，因為（wéi）μ_REL(m₁)=μ_REL(m₂)=1×10^-3，若直接采用方和根法（fǎ），得μ′_REL(m)=[(m₁)+(m₂)]^0.5=1.4×10^-3。可（kě）見μ′_REL(m)比μ_REL(m)大了近一倍，由此得出結論在用（yòng）輸入量的相對標準不確定度合成輸出量的相對標（biāo）準不確（què）定度時一定（dìng）要慎重。除非輸入量與輸出（chū）量的相對標準不確定度有同一個分（fèn）母(例如化學分（fèn）析中（zhōng）的濃度不確定（dìng）度)，並且（qiě）他們表示的（de）含義一致，否（fǒu）則不能用方（fāng）和根法直接合成。我們再舉一例，說一下在實際（jì）工作中常犯的錯誤。
    例:用兩塊S級的電壓表V₁、V₂(量程分別為X₁，X₂)測量（liàng）電路中串聯兩電阻R₁、R₂(R₁≠R₂)的電壓V_AC=V_AB+V_BC。求V_AC的相對標準不確定度（dù）。
    

    很（hěn）多實驗者是這樣分析的:用兩塊表V₁、V₂測得電壓V_AB、V_BC的相對不確定度分別為:μ_REL(V_AB)=μ(V₁)/V_AB；μ_REL(V_BC)=μ(V₂)/V_BC。而μ(V₁)=(SX₁%)/ ；μ(V₂)=(SX₂%)/ ，則輸出量V_AC的相對標準不確定度μ_REL(V_AC)=((V_AB)+(V_BC))^0.5=[(X₁ /V_AB)²+(X₂ /V_BC)²]^0.5，這個結果是錯誤（wù）的。在指示性儀表中的引用誤差是不能（néng）直接用來合成相對標準不確（què）定度的（de）。正確的算法（fǎ）應（yīng）是:先求出V₁、V₂的標準不確定度分量μ(V₁)=(SX₁%)/；μ(V₂)=(SX₂%)/，合成輸出量μ(V_AC)；最後求V_AC的相（xiàng）對標準不（bú）確定度:μ_REL(V_AC)=μ(V_AC)/(V_AB+V_BC)=/V_AC
    對數學模型進行不確定度分析時:(1)無論對線性函數還是非線（xiàn）性函數均應先求（qiú）出每（měi）次測量單列輸入量所對應的各輸出量的值，再對各輸出量的值求算術平均值得到最佳估（gū）值，采用這種算法可（kě）靠性最高；(2)輸入分量的不確定度無論以怎樣的形式給出，最好化成標準不（bú）確定度一種形式來合成輸出量的標準不確定度，進（jìn）而合成相對標準不確定度，這樣做可避免概念運用的失誤。