中國（guó）計量科學研究院  陶香琴

　　編者按
　　該文作者長期從事（shì）激光幹涉（shè）測量和對標準鋼卷尺進行量值傳遞（dì）的工（gōng）作，文中對標準鋼卷尺測量結果不確定度的評定思路、評定方法和步驟，概率分布的處理，怎樣取值和（hé）計算，尤其對標準鋼卷尺任一長度的測量結果擴展不確定度，用（yòng）統一表達式來表示的方法，進行了（le）係統的論述，是一篇（piān）規範（fàn）化的（de）專業不（bú）確定度評（píng）定文章，可供有關人員工作中參考。
　　本文介紹以優質碳素鋼為材料製造的標準鋼卷尺測量結果不確定度（dù）的評估方法；與因瓦或（huò）不鏽鋼為材料製（zhì）造的標準鋼（gāng）卷尺的（de）分析方法類同。    

　　一、測量原理和方法

　　依據JJG74-1991《標準鋼卷尺》檢定規程，標準鋼卷尺的實際長度，是（shì）在27m動（dòng）態校準儀標準裝置上，用讀數顯（xiǎn）微（wēi）鏡（jìng）對其（qí）零分劃線及被測分劃線進（jìn）行瞄準定位（wèi），而兩分劃線間的長度，由移動棱鏡產生的偏振光幹涉距離確定。也就（jiù）是說，在雙頻激光動態校準儀（yí）上，通過偏振光幹（gàn）涉測（cè）量原理，將（jiāng）激光波長直接複現到（dào）被檢標準鋼卷尺上，實現絕對（duì）法測量。    

　　二、數學模型

　　標準（zhǔn）鋼卷尺在（zài）20℃時的長度L_20℃(輸出量估（gū）計值)由下式求得:
　　L_20℃=L+[92.9(T-20℃)-0.269(P-101325Pa)+0.042(F-1333.2Pa)]×10^-8L-α(T₁-20℃)L    (1)

　　(1)式即（jí）為求解輸出量估計值與輸入變量函數關係的數學模型。
　　式中:L——在檢定環（huán）境下（xià）動態校準儀測得的長度（dù），m；T——沿光路（lù）的空氣（qì）平均溫度，℃；P——空氣壓力，Pa；F——空氣中水蒸汽分（fèn）壓，Pa；α——標準鋼卷尺在常溫條件下的平均溫度線膨脹係數，℃^-1；T₁——標準鋼卷尺的平均溫度，℃。    

　　三、方差和靈（líng）敏係（xì）數

　　根（gēn）據方差合成定律，輸出量的估計方差為各輸入量（liàng）的估計方差所合成。由（yóu）於（yú）(1)式是一線性（xìng）數學模型，同時，式中各（gè）輸入量按相互（hù）獨立互不相關處理，因而在方差合成中不考慮高階項及相關項的影響。依方程:
　　
　　將函數（shù）式（shì）(1)對各輸入變量（liàng）求偏（piān）導,可得輸出量估計（jì）方差:
    

　　這裏（lǐ）要指出的是，在(5)式中遺漏了一項不能用解析形式的數學表達式來表示的不確定度來源，但它（tā）們對輸出量估計方差有很（hěn）大影響，即測量裝置調整不完善引（yǐn）入的不（bú）確（què）定度（dù）。

　　由於（yú）固定在同一（yī）運行小車上的讀數顯微鏡的視準軸與移動棱鏡（jìng）頂角之間，存在水平麵內60mm的距離，當它們隨小車移動（dòng）時（shí）所產生的被（bèi）測軸線（xiàn）與標準軸線既不重合，又不在各（gè）自的延長線上，也就是不符合測量的阿（ā）貝原則（zé），這樣，當導軌在水平麵內產生直線性偏擺（bǎi）時，便會產生測量結果的阿（ā）貝誤（wù）差，標準鋼（gāng）卷尺測量中的導軌直線性（xìng）阿貝誤差，已成為重要的不確定度來源，因而輸出量估計方差的完整表（biǎo）達式應為:
    
    式中:u₇=u(L_Φ)——導軌（guǐ）直線性偏差引（yǐn）入的（de）標準不確定度分量。
    由(6)式（shì）可以看出，對輸出量估（gū）計方差有所貢獻的不確定度（dù）來源於四大（dà）部分:

　　1.測（cè）量長度L的標準不確定度分量u₁；
　　2.光路空氣折射率修正中，溫度、氣壓、濕度測（cè）量引入的標準不確定度（dù）分量（liàng）u₂、u₃、u₄，其中忽略了Edlen公式本身的不（bú）確定度（dù），及空氣成（chéng）分中CO₂含量對折射率的（de）影響；
　　3.標準鋼卷尺的溫度（dù）線膨脹係數及尺溫測量引（yǐn）入的標準不確定度分量（liàng）u₅、u₆；
　　4.測量裝置調整不完善引入的（de）標準不確定度分量u₇。    

　　四、不確定度來源(見表1)   

　　五、輸入量標準（zhǔn）不確定（dìng）度評定

　　1.測量長度L的標準不確定度分量u₁
　　前麵已經提及，標準鋼卷尺在檢定環境下的長（zhǎng）度L是通過偏（piān）振光幹涉測量（liàng）的原理將激光波長直接複現到被檢長度上的。而激光（guāng）波長值的準確度、激光頻率的（de）穩定度、標準鋼卷尺引張力的（de）變化、讀（dú）數顯微鏡對分劃線的瞄準偏差等都將影響長度L的測量不確定度。

　　(1)激光平均真空波長值的標準不確定度u(L₁)
　　由動態校準儀提供（gòng）的技術（shù）參數:其（qí）平均真空波長值為632.991354nm±1×10^-7L(k=3)
　　則由真空波長（zhǎng）值引入（rù）的標準不確定度
　　u(λ)=Δλ∕3=1×10^-7L/3=3.3×10^-8L
　　估計（jì）該波長值的標準不確定度具有99%的可靠性，則u(λ)的自由度為:
　　
　　可認為該（gāi）自由度（dù）為無窮大，故
　　u(L₁)=u(λ)=3.3×10^-8L
　　ν_1.1=∞

　　(2)激光頻率穩（wěn）定度（dù）引入的標準不確定度u(L₂)
　　根據動態校準儀提供的技術參數，激（jī）光頻率的長期穩定度為2×10^-8L，按k=3處理，則
　　u(L₂)=2×10^-8L∕3=0.7×10^-8L
　　同樣認（rèn）為（wéi），該標準（zhǔn）不（bú）確定度具有99%的可靠（kào）性，則
　　ν_1.2=∞

　　(3)標準鋼卷尺引張力變化引入的標準不確定度u(L₃)
　　根據檢定規程，標準鋼卷尺的長度是指在規定（dìng）引張力(49N或98N)下的長度，而檢定平台與尺麵間的摩擦力及滑輪（lún）摩擦力、重錘重量的偏差等都會使引張力（lì）發生變化，從而（ér）引起尺（chǐ）長變化。
　　該測量（liàng）裝置（zhì）采用雙滾動軸承檢（jiǎn）定平台及滑輪，由實驗得，標（biāo）準鋼卷尺引張力最大變（biàn）化為:
　　ΔP=±0.15N
　　由此帶來的尺長最大測量（liàng）誤（wù）差為:
　　ΔL=±27.6×10^-8L
　　在缺乏更多信息（xī）情況下（xià），一般估計被測量值以等（děng）概（gài）率全部落入分散區間內更合理，也即被測量值在分散區間內服從均勻分布，這樣在保證同樣（yàng）置信概率下求得的標準不確（què）定度，比正態分布、三角分布、梯形（xíng）分布都要大，從而顯得更為安全可靠。
　　故該誤差引入的標準不確定度為:
　　
　　估計u(L₃)有75%的可靠性，則自由度:
　　 

　　(4)測量重複性估算的標準不確定度u(L₄)
　　此項不確定度主要體（tǐ）現在讀數顯微鏡（jìng）對標準（zhǔn）鋼卷尺分劃線的瞄準（zhǔn）偏差（chà）上。根據（jù）曆（lì）次實驗（yàn）檢測記錄，單一瞄準實驗標準差S_r=1.2μm，ν=9。檢定標準鋼卷尺長度時，需要對零分劃線及被測分劃線分（fèn）別瞄準，檢定時取兩次測（cè）量的均值為測量結果，則
    
    合成以上四項，得在檢定環境下測量標準鋼卷尺長度L的標準不確定（dìng）度分量:
    
    將L=5m代入
    u(L₃)=0.80μm
    u₁=u(L)=1.45μm
    依公式（shì），自（zì）由度（dù）:
    
    由於ν_1.1=ν_1.2=∞，故u(L₁)、u(L₂)不參與對ν(L)的評定，則
    
    自由度取整時，一般（bān）截尾而不進位，這樣在同樣置信概率下查表所得包（bāo）含因子k值較大而比較安全，故
    u₁=[(16.3×10^-8L)²+(1.2μm)²]^1/2
    ν₁=15

　　2.空（kōng）氣溫度（dù）測（cè）量引入的標（biāo）準不確定度（dù）分量u₂
　　標準鋼卷尺在(20±0.3)℃恒溫室（shì）內檢定，室內沿測線方向（xiàng）溫度梯度優於0.3℃，光路上用10支均布的溫度傳感器測定空（kōng）氣平均溫度，氣溫測量可準確到0.1℃，考慮測量過程溫度波動等（děng）因素的影（yǐng）響（xiǎng），氣溫最大測量誤差為:
　　ΔT=±0.15℃
　　估計為均勻分布，則測溫標準不確定度為:
    
    故空（kōng）氣溫度測量引入的標準（zhǔn）不（bú）確定度分量為:
    u₂=C₂u(T)=8.4×10^-8L
    按u(T)有90%可靠性估計，則
    

　　3.光路氣壓（yā）測量引入的標準不確定度分（fèn）量u₃
　　光路氣壓用10Pa數字壓力計測定，其氣壓訂正值可忽略不計，考慮測量過（guò）程氣壓波動等因素的影響，氣壓最大測量誤差為:
    ΔP=±30Pa
    按矩形分布估計（jì），氣壓測（cè）量（liàng）標準不確定度為:
    
    故由氣壓測量引（yǐn）入的標準不（bú）確定度分量為:
    u₃=C₃u(P)=4.6×10^-8L
    估計u(P)的相對標準不確定度為10%，則
    

　　4.空氣濕度測量引入的標準不確定度分量u₄
　　已知空（kōng）氣相對濕度的最大測量誤差為:ΔU=±10%RH
　　換算成空氣中水蒸汽分壓測量誤差為:ΔF=±234Pa
　　按矩形分布（bù）估計，濕度測量標準不確定度（dù）為: 
　　 
　　故由濕度測量引入的標準不確定度（dù）分量（liàng）為:
　　u₄=C₄u(F)=5.7×10^-8L
　　估計u(F)的相對標準不確定度為20%，則
　　 

　　5.標準鋼卷（juàn）尺溫度（dù）線膨脹係數引入的標準不（bú）確定度分量u₅
　　標準（zhǔn）鋼卷尺（chǐ）的材料，可用優質碳素鋼、不鏽鋼和因瓦材料製造,它們在常溫範圍內(-5℃～35℃)的平均溫度線膨脹係數及用“空調（diào）法”測量的標（biāo）準不確定度見（jiàn）表（biǎo）2。    

　　從表中看（kàn）出,三種材料（liào）的溫度（dù）線膨脹係數α相差極大,其標準不確定度u(α)也不（bú）同。
　　在（zài）實驗室內，恒溫要求為(20±0.3)℃，即(T₁-20℃)=±0.3℃
　　對用優質碳素鋼為材（cái）料的標準鋼卷尺，由溫（wēn）度線膨脹係數引入的標準（zhǔn）不確定度分量為:
　　u₅=C₅u(α)=(T₁-20℃)L×u(α)=0.3℃L×1×10^-7 ℃^-1=3×10^-8L
　　估計u(α)的可靠性為90%，故:
　　

　　6.標（biāo）準鋼卷尺溫度測量引入的標準不確定度分量u₆
　　標準鋼卷尺的溫度，同樣（yàng）以在其旁邊的（de）溫度傳感（gǎn）器測定，考慮到測（cè）量過程空氣溫（wēn）度波動時金屬（shǔ）材料溫度對空氣溫度的滯後現象，尺溫最大測量誤差可能達:
    ΔT₁=±0.2℃
    估計其為（wéi）均勻分布，則尺溫測量標準不確定度:
    
    對（duì）優質碳素鋼（gāng）標準鋼卷尺，由尺溫測量引入的標準不確定度分量為:
    u₆=C₆u(T₁)=αLu(T₁)=11.5×10^-6 ℃^-1L×0.12℃=138×10^-8L
    估計u(T₁)有85%可靠性，故
    

　　7.測量裝（zhuāng）置（zhì）調整不完善引入的標準不確（què）定度（dù）分量u₇
　　根據實驗檢測，導軌在水平麵內（nèi）直線性偏（piān）擺產生的最大測量誤差為:
　　ΔL_Φ=±1.8μm
　　估計其為矩形分布，則（zé）
　　
　　估計u(L_Φ)有75%可靠性，則
　　
　　而導（dǎo）軌在垂直麵內的傾斜，使被測量與標準量產生（shēng）同向同（tóng）量的（de）長度（dù）變（biàn）化（huà），在比較結果中相（xiàng）互抵消（xiāo）而可不考慮（lǜ）。    

　　六、輸入量標準（zhǔn）不確定度的合成

　　由(6)式可得:
    
    將（jiāng）L=5m代入，則
    uc(L_20℃)=7.13μm
    而u₁=1.45μm，u₂=0.42μm，u₃=0.23μm，u₄=0.28μm，u₅=0.15μm，u₆=6.90μm，u₇=1.04μm
    ν₁=15，ν₂=50，ν₃=50，ν₄=12，ν₅=50，ν₆=22，ν₇=8
    則合成標準不確定度的有效自由度（dù）為:
    
    

　　七、擴展不確定度

　　根（gēn）據概（gài）率論的（de）中心極限定理，大量獨立分布的隨機變量，其和的概率分布近（jìn）似於正態（tài）分布；由於本文分析的合成標準不確定度，是由有（yǒu）限個隨機變量所合成，它的概率分（fèn）布可按近似於正態（tài）分布的t分布處理。另一方麵，作為（wéi）量值傳遞中的標準尺，我們要求其測量（liàng）結果擴展不確定度達到約99%的（de）置信水準。

　　故由置信概率P=99%和有效自由度ν_eff=24，查t分布表，可得臨界值t_p(ν)，則包含因子:
    k₉₉=t_p(ν_eff)=t₉₉(24)=2.80
    擴展不確定度為:
    U₉₉=k₉₉u_c(L_20℃)=2.80×[(139×10^-8L)²+(1.59μm)²]^1/2    (8)
    將L分別以0.1m、1m、5m、10m、25m代入(8)式，則U₉₉分別為:
    4.5μm、5.9μm、20.0μm、39.2μm、97.4μm
    由上麵數據我們歸納成:對任一長度測量結果的（de）擴展不確定度可表示為:
    U₉₉=(4+4L)μm   L以米為單位    (9)    

　　八、不確定度報告

　　在(20±0.3)℃環境條件下，以激光波長為標（biāo）準（zhǔn），對以（yǐ）優質碳素鋼為材料（liào）的標準（zhǔn）鋼卷尺任一長度的測量結果擴展不確定度為（wéi）:
　　U₉₉=(4+4L)μm   L以米為單位
　　該擴展不確定度由不隨（suí）長（zhǎng）度變化的固定部分及隨長度而（ér）變（biàn）的比例部分組成（chéng）。
　　它的合成標準不確（què）定（dìng）度為:
　　u_c(L_20℃)=[(1.39×10^-6L)²+(1.59μm)²]^1/2
　　u_c(L_20℃)的有效自由度（dù）為:ν_eff=24
　　包含因子:k₉₉=2.80
　　該擴展不確定度（dù）具有約99%的置信水準。